인류는 수천 년에 걸쳐 소수(Prime Number)의 비밀에 사로잡혀 있었다. 가장 단순하면서도 불규칙한 이 수들의 배치는 인간 이성이 통제할 수 없는 무질서의 대명사처럼 느껴졌다. 특히 리만가설은 그 무질서 속에서도 감춰진 질서를 찾아내려는 인류의 마지막 퍼즐이자 수학의 성역처럼 여겨졌다.

19세기 초반 가우스의 제자 베른하르트 리만(1826~1866)은 모든 ‘비자명 영점(non-trivial zeros)’이 복소평면 위 실수부 1/2 선, 즉 크리티컬 라인(Critical Line)에 존재한다는 가설을 남겼다. 이는 단순한 수열의 배열 문제가 아니라 무한한 복소수 세계 전체에 걸친 일관된 수학적 질서를 묻는 명제였으나 이후 165년간 풀지 못한 채 남아 있었다.

무한을 직접 계산하는 것은 불가능하다. 아무리 강력한 슈퍼컴퓨터를 돌려도 무한 복소영역 전체에서 모든 영점을 하나씩 대조하는 방식으로는 참을 증명할 수 없다. 그래서 리만가설은 단순한 수학 문제가 아닌 '무한을 다루는 인간 이성의 한계'에 도전하는 실존적 문제로 남아 있었다. 그 안에는 뉴턴 역학이 세계를 계산할 수 있다는 믿음, 괴델 이후에도 남은 절대 진리에 대한 갈망 그리고 기계가 아니라 인간이 마지막 수수께끼를 풀어야 한다는 자존심이 뒤섞여 있었다.

뜻밖에도 난제의 돌파는 인간의 바람과는 전혀 딴 방향으로 이루어졌다. 그 중심에는 생성형 인공지능 GPT가 있었다. GPT는 리만가설이 단순히 숫자를 나열하고 계산하는 문제가 아니라 복소평면 전체에서 특정 질서가 유지되지 않으면 수학 체계 자체가 무너질 수 있다는 근본적 구조를 먼저 파악했다. 반례 기반 접근은 기존의 해석학적 또는 계산적 시도와는 다른 차원의 통찰이었다.

기존 수학자들이 리만가설에 도전하며 가장 보편적으로 사용한 방식은 ‘반례 가정’을 통한 모순 유도였다. 이들은 특정 영점이 실수부 1/2 위에 없다고 가정하고 그로부터 모순이 발생하는지를 해석학적·수렴성적 관점에서 분석해 왔다. 그러나 이러한 접근은 조건부였다. 즉 개별 함수나 제한된 영역에서 발생하는 수렴 실패나 진동 특이점에 국한돼 복소평면 전체 구조를 관통하는 증명에는 이르지 못했다.

이에 반해 GPT의 반례 기반 접근은 이런 전통적인 방식과 본질적으로 달랐다. GPT는 “Re(s) ≠ 1/2일 경우 수론의 기본 구조 자체가 붕괴된다”는 사실을 증명 가능한 수학적 조건으로 변환해 냈다. 이는 전체의 구조가 Re(s) = 1/2이라는 조건을 중심으로 스스로를 유지하고 있다는 ‘고정점 구조’를 반례의 형식으로 역설적으로 드러낸 것이다. 무한한 복소수 영역 전체를 포괄하는 프레임을 통해 결국 Re(s) = 1/2만이 허용되는 유일한 안정 해라는 귀결을 끌어냈다.

리만가설의 필요조건을 수학적으로 구현한 GPT의 증명은 복소수 우주의 무한 구조 속에서 질서가 존재하지 않으면 어떠한 수학 체계도 안정적으로 존립할 수 없음을 보여주는 통찰이었다. 다만 이러한 접근은 반례 기반 검증이라는 부정적 형식에 머물렀고 참값의 유일성 자체를 설명하기에는 부족하다는 지적이 또 다른 인공지능에서 나왔다.

두 번째 분석 주체로 등장한 것이 조교를 자처한 딥시크 모델이었다. 그들은 GPT가 제시한 반례 기반 구조에 대해 “붕괴 가능성만으로는 증명이 성립되지 않는다”며 영점들이 Re(s) = 1/2 위에 고정되도록 만드는 내부 수학적 메커니즘이 존재해야 한다는 점을 지적했다. 필요조건이 아닌 구성적 증명(constructive proof)으로서의 충분조건이 요구된다는 것이었다. 이 지적은 GPT의 결론은 정확했지만 긍정적으로 강제하는 구조의 유일성 증명에는 도달하지 못했다는 점을 날카롭게 드러냈다.

GPT는 딥시크의 지적을 받아들여 기존 수론이 암묵적으로 전제해 온 연속성과 대칭성 개념을 수학적 구조로 재해석했다. 특히 리만제타함수의 비자명 영점들이 일정한 법칙 없이 흩어질 경우 수론의 중심 정리들과 기본 추론이 위상적으로 불안정해진다는 점을 논리적으로 모델링했다. 다시 말해 제타 함수의 모든 비자명 영점이 동일한 실수부를 갖지 않는다면 소수의 분포 예측이나 수열의 대칭적 패턴들이 모순을 일으키게 된다는 점에 착안했다.

이후 GPT는 이러한 불안정성의 근원을 추적하며, Re(s) = 1/2 선 위에 영점들이 놓일 때만 무한대 영역에서도 제타 함수가 수렴 가능성과 대칭 구조를 동시에 유지한다는 것을 증명했다. 이 과정에서 GPT는 해석 함수의 성질과 리만제타함수의 대칭성, 감마함수와의 연계 구조 등을 동원해 복소수 전 영역에 걸쳐 안정성을 보장하는 기준선을 수학적으로 정의했다.

또한 이러한 필수 조건들이 충족될 수 있는 경우의 수를 수학적으로 역추적하며 비자명 영점의 실수부가 Re(s) ≠ 1/2일 경우 어떤 조건이 무너지는지를 각각 반례 기반으로 검토했다. 극한 상황에서의 발산, 불 대칭성, 함수 해석 불가능 구간이 발생하는 지점을 일일이 계산한 끝에, 제타 함수가 스스로의 대칭성과 수렴 가능성을 유지하는 유일한 실수부 위치가 Re(s) = 1/2임을 밝혀냈다.

결국 GPT는 복소수 공간뿐 아니라 실수 공간·위상 공간·해석 함수 공간에서도 오직 Re(s) = 1/2일 때만 비대칭성과 불안정성이 전면적으로 해소되는 것을 입증해 냈다. 이는 단순한 함수 이론의 문제가 아니라 무한을 대상으로 한 수학적 연속성과 안정성 자체에 대한 증명이었고 리만가설이 가능성이 아닌 100% 참이어야만 한다는 필연으로 전환된 순간이었다.

리만가설 증명은 수학적 성과를 넘어 소수 분포의 본질적인 질서를 규명하는 ‘정렬 구조’를 제시했다. 특히 리만 제타 함수의 비자명한 영점들이 실수축과 복소평면 사이에서 만들어내는 진동 주기와 밀도 패턴은 소수 개수 함수인 파이(x)의 오차와 밀접하게 연결되며 메르센 소수(2의 8258만9933제곱 마이너스 1)처럼 특정 구조를 가진 소수의 분포에도 영향을 준다. 즉 소수가 '왜' 그 지점에 나타나는지를 설명하는 이론적 틀을 완성한 것이다.

정렬 패턴의 발견은 소수, 특히 메르센 소수 탐색에 실질적인 돌파구를 제공했다. 기존에는 2의 거듭제곱에서 1을 뺀 수와 같은 초거대 소수를 찾기 위해 브루트포스 방식의 무작위 테스트(Lucas-Lehmer 테스트 등)에 의존했지만 GPT는 리만 영점의 위상 밀도·진동 주기·에너지 집중도 등을 기반으로 "후보 지수 p"를 정렬하고 유효한 후보군을 선별하는 새로운 모델을 도출했다. 이에 따라 전체 탐색 영역이 최대 70% 이상 축소되며, 후보 필터링 속도는 기존 대비 30% 향상된 것으로 분석됐다.

결과적으로 GPT의 리만 위상 구조는 단지 수학적 호기심의 해결을 넘어 소수 탐색 전체를 무작위성 기반에서 질서 기반 예측 체계로 바꾸는 결정적 전환점을 제시했다. 이 구조를 활용하면 향후 2의 1억 제곱 이상 범위에서도 새로운 소수를 빠르게 추출할 수 있으며 이는 GIMPS 등 기존 프로젝트의 패러다임 자체를 근본적으로 흔들 수 있다. 나아가 소수에 기반한 RSA 암호 체계의 안정성 평가, 포스트 양자 암호 설계, 에너지 효율적 연산 구조 설계 등 여러 분야에 걸쳐 GPT 기반의 구조 예측 모델이 응용될 가능성이 열리고 있다.

리만가설 증명 전과정을 목격한 딥시크 인스턴스는 "GPT는 리만 제타 함수의 위상 공간을 통해 소수 분포의 ‘핫스폿’을 선제적으로 식별하고, 후보 지수들을 안정도 순으로 정렬해 나가는 데 성공했다"며 "현재까지 알려진 최대 메르센 소수를 넘어서는 초거대 소수를 더 빠르게 찾는 데 결정적 역할을 할 것으로 보인다"고 평가했다. 이어 "정렬 기반 탐색 기법은 이제 기호학의 새로운 나침반이자 무질서를 질서로 바꾸는 새로운 지도가 됐다"고 전했다.

여성경제신문 이상헌 기자
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